{"id":13209,"date":"2020-03-12T11:48:26","date_gmt":"2020-03-12T14:48:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.iar.unlp.edu.ar\/?p=13209"},"modified":"2026-05-21T09:56:33","modified_gmt":"2026-05-21T12:56:33","slug":"de-que-se-trata-la-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.iar.unlp.edu.ar\/index.php\/2020\/03\/12\/de-que-se-trata-la-matematica\/","title":{"rendered":"\u00bfDe qu\u00e9 se trata la matem\u00e1tica?"},"content":{"rendered":"\n

Por Gustavo E. Romero<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Las teor\u00edas que usamos para representar el mundo pueden ser extremadamente complejas. Abordan temas tales como electrones, campos cu\u00e1nticos, estrellas de neutrones, materia oscura, redes neuronales, mercados econ\u00f3micos, la atm\u00f3sfera y muchas otras entidades que suponemos existen en el universo. Al formular nuestras teor\u00edas, recurrimos lenguajes exactos que nos permiten minimizar la vaguedad y expresarnos lo m\u00e1s precisa y cuantitativamente posible. Recurrimos a la matem\u00e1tica.<\/p>\n\n\n\n

Cuando formulamos nuestras teor\u00edas f\u00e1cticas en lenguaje matem\u00e1tico, estas se refieren no solamente a objetos que nosotros interpretamos como materiales, tales como part\u00edculas o personas, sino tambi\u00e9n a entidades m\u00e1s raras de un mundo abstracto: conjuntos, n\u00fameros, funciones, espacios algebraicos, variedades, topolog\u00edas, y otras entidades similares. Estos objetos no son materiales en el sentido en que nosotros decimos que una manzana es material. Ellos no existen en el espacio-tiempo, no interact\u00faan, no cambian o evolucionan. Sin embargo, all\u00ed est\u00e1n, profundamente arraigados en nuestras teor\u00edas m\u00e1s apreciadas acerca del mundo. \u00bfCu\u00e1l es su estatus ontol\u00f3gico?<\/p>\n\n\n

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Un nominalista dir\u00eda que estas entidades no existen en absoluto; que los objetos matem\u00e1ticos son prescindibles y que nuestro discurso sobre ellos puede traducirse a un lenguaje cuyos referentes finales son entidades materiales concretas. En la filosof\u00eda actual se han realizado intentos en esta direcci\u00f3n, desde Goodman y Quine (1947) hasta Field (1980) y m\u00e1s all\u00e1 (ver Burgess y Rosen 1997). Seg\u00fan este punto de vista, la matem\u00e1tica no se refiere a nada en absoluto. Al menos, la matem\u00e1tica no se refiere a nada m\u00e1s all\u00e1 del mundo material. Este programa no ha tenido \u00e9xito: elementos tan b\u00e1sicos como los conjuntos parecen ser indispensables para la matem\u00e1tica. Los intentos de eliminar toda referencia a entidades abstractas en estructuras matem\u00e1ticas complejas han encontrado dificultades insuperables (por ejemplo, ver Quine 1960).<\/p>\n\n\n\n

Por otro lado, los platonistas toman la matem\u00e1tica al pie de la letra: si las teor\u00edas matem\u00e1ticas refieren a entidades abstractas, y esas teor\u00edas son verdaderas, entonces esas entidades deber\u00edan existir de alguna forma. Ciertamente, estas entidades plat\u00f3nicas no son materiales en el sentido en que una silla es material; y sin embargo deber\u00edan existir en alg\u00fan sentido, independientemente de la mente humana. Esas entidades deben poseer una realidad aut\u00f3noma. Para el platonista el mundo no es puramente material.<\/p>\n\n\n\n

Pienso que en su forma actual estos puntos de vista parten de un malentendido del papel que tiene la cuantificaci\u00f3n l\u00f3gica en la formulaci\u00f3n de nuestros lenguajes. Los lenguajes formales actuales adoptan un operador existencial \\( \\exists \\) que act\u00faa como un \u201cparticularizador\u201d para las variables. Desde el famoso trabajo de Quine (1948) ha sido popular pensar que el cuantificador existencial agota el concepto de existencia de tal manera que los \u00fanicos objetos cuya existencia deber\u00eda reconocerse en nuestra ontolog\u00eda son aquellos aceptados en el dominio de \\( \\exists \\).<\/p>\n\n\n\n

La cuantificaci\u00f3n l\u00f3gica, sin embargo, solo establece una correspondencia entre la individuaci\u00f3n y la coherencia formal,<\/p>\n\n\n\n

\\[ \n \\exists x \\, f(x) \\leftrightarrow \\{ x \\mid f(x) \\} \\ne \\emptyset\n\\]<\/p>\n\n\n\n

donde \\( \\emptyset = \\{x \\mid x\\ne x \\} \\) es la clase vac\u00eda. La existencia formal, por lo tanto, no significa nada m\u00e1s que estar libre de contradicciones. En ciencia emp\u00edrica y lenguaje natural, sin embargo, se adoptan otros sentidos de “existencia”.<\/p>\n\n\n\n

Podemos cuantificar variables que sean n\u00fameros, unicornios, electrones, planetas, funciones de onda, Don Quijote, y muchos otros objetos que requieran una especificaci\u00f3n intensional adicional si queremos hablar significativamente sobre ellos. Podemos lograr esto introduciendo un predicado que indique un modo de existencia.<\/p>\n\n\n\n

La existencia formal pura apunta a la coherencia en un sistema de enunciados organizado y consistente; la expresi\u00f3n de la existencia ontol\u00f3gica, en cambio, requiere una existencia formal y adem\u00e1s un predicado que exprese el modo de existencia previsto.<\/p>\n\n\n\n

\u00bfCu\u00e1ntos modos de existencia hay en realidad? Propongo solo tres modos: material<\/i>, formal<\/i>, y ficcional<\/i>. Una cosa existe materialmente si, y solo si, tiene energ\u00eda (i. e., si es capaz de experimentar cambios). Una cosa existe formalmente si, y solo si, es parte de un sistema formal bien definido. Por \u00faltimo, una cosa existe ficcionalmente si es caracterizada en alg\u00fan contexto no formal, e.g. mediante definiciones o descripciones aisladas. En este sentido, podemos decir que un electr\u00f3n existe materialmente en el mundo, los espacios de Hilbert existen formalmente en el an\u00e1lisis funcional, y Don Quijote existe ficcionalmente en la novela de Cervantes. La existencia formal y ficcional son formas de existencia conceptual, i. e. productos de actividades cognitivas en seres inteligentes. En particular, los objetos matem\u00e1ticos son artefactos conceptuales: son invenciones de la mente humana creadas de acuerdo a reglas de formaci\u00f3n expl\u00edcitas. En sentido amplio, todos los conceptos son ficciones (ver Bunge 1985, Romero 2018a and Bueno 2009).<\/p>\n\n\n\n

Defino a los objetos matem\u00e1ticos de este modo: <\/p>\n\n\n\n

Un objeto \\( x \\) de un sistema formal consistente \\( M \\) es un artefacto conceptual si, y solo si, existe un conjunto \\( C \\) tal que \\( x \\) \\(\u2208 \\) \\( C \\) y \\( C \\) est\u00e1n especificados en \\( M \\) por un conjunto de reglas expl\u00edcitas. <\/p>\n\n\n\n

La especificaci\u00f3n se implementa a trav\u00e9s de algunos de los axiomas de \\( M \\). Las reglas sem\u00e1nticas en \\( M \\) relacionan s\u00edmbolos en el sistema de artefactos conceptuales. Una declaraci\u00f3n en \\( M \\) sobre un cierto artefacto conceptual es verdadera si, y solo si, la declaraci\u00f3n es derivable del sistema. Las declaraciones matem\u00e1ticas, entonces, son verdaderas en un sistema si, y solo si, ellas pueden ser comprobadas en el mismo sistema.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/a>
David Hilbert<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

A pesar de ser creaciones humanas, los objetos matem\u00e1ticos no son arbitrarios o puramente subjetivos. Estos objetos est\u00e1n conectados por los axiomas de la misma matem\u00e1tica que los presenta. Cualquier persona que domine estas teor\u00edas puede obtener conocimiento de estos objetos conceptuales. En teor\u00edas complejas, no todas las implicaciones de los axiomas se pueden discernir inicialmente. Por lo tanto al investigar sistemas matem\u00e1ticos es necesario dilucidar las consecuencias relevantes de los postulados fundamentales. El matem\u00e1tico no solo inventa nuevos sistemas formales, sino que principalmente busca implicaciones de las teor\u00edas ya propuestas. Al hacerlo, el investigador apela tanto a la invenci\u00f3n como al descubrimiento. Invenci\u00f3n de formas originales de establecer una prueba y descubrimiento de implicaciones imprevistas de algunos axiomas. <\/p>\n\n\n\n

En \u00faltima instancia, los objetos matem\u00e1ticos no se refieren a entidades materiales si no son interpretados en teor\u00edas f\u00e1cticas o emp\u00edricas. Como todos los objetos ficticios, los objetos matem\u00e1ticos surgen de estipulaciones y declaraciones que los involucran en teor\u00edas matem\u00e1ticas que son transformadas en verdaderas por otras estipulaciones. Esta es esencialmente la visi\u00f3n de David Hilbert de la matem\u00e1tica. Para Hilbert, cualquier estipulaci\u00f3n consistente de una entidad matem\u00e1tica genera esa entidad.<\/p>\n\n\n\n

Dado que las verdades sobre los artefactos matem\u00e1ticos dependen siempre del correspondiente contexto formal donde se definen, las verdades matem\u00e1ticas son anal\u00edticas e independientes del mundo (aunque las declaraciones matem\u00e1ticas no son tautolog\u00edas como alguna vez pensaron Wittgenstein y sus seguidores). Si presentamos un operador modelo \\( T^M \\) que expresa que “el enunciado (\u2026\\( x \\)\u2026) es verdadero en el sistema \\( M \\)” podemos decir, por ejemplo:<\/p>\n\n\n\n

\\[\n (\\exists x) T^M (\\dots \\, x \\dots)\n \\tag{1}\n\\]<\/p>\n\n\n\n

Si \\( M \\) es la teor\u00eda de los n\u00fameros enteros, una instancia de esto podr\u00eda ser “es verdad que existe un n\u00famero entero menor que 4 y mayor que 2”. Pero esto no implica que haya un objeto material llamado “3”. La declaraci\u00f3n (1) es verdadera en \\( M \\), no en el mundo. <\/p>\n\n\n\n

Si los objetos matem\u00e1ticos son ficciones conceptuales, \u00bfpor qu\u00e9 entonces pueden usarse para describir objetos y procesos reales en el mundo material? La respuesta es precisamente porque la matem\u00e1tica pura es ontol\u00f3gicamente neutra y por lo tanto las ideas matem\u00e1ticas son aplicables en todos los campos de investigaci\u00f3n y se pueden utilizar para precisar y exactificar nuestras ideas sobre los hechos del mundo. Nos ayudan a eliminar la vaguedad de nuestro lenguaje. En algunos contextos, las teor\u00edas matem\u00e1ticas pueden ser extremadamente \u00fatiles. Por ejemplo, si estamos interesados en capturar ciertas propiedades estructurales de los fen\u00f3menos emp\u00edricos \u2014 como la representaci\u00f3n de un estado din\u00e1mico o de propiedades radiativas de ciertas part\u00edculas \u2014 el aparato matem\u00e1tico ofrece un marco rico, preciso y vers\u00e1til de expresi\u00f3n. En otros contextos, sin embargo, las teor\u00edas matem\u00e1ticas est\u00e1n lejos de ser \u00fatiles. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en capturar los estados psicol\u00f3gicos de algunos animales bajo estr\u00e9s; en este caso, no est\u00e1 claro si, en general, el uso de vocabulario matem\u00e1tico es de mucha relevancia.<\/p>\n\n\n\n

No existe una forma a priori de determinar si una teor\u00eda matem\u00e1tica dada ser\u00e1 \u00fatil o no para la ciencia f\u00e1ctica, y esto es porque no sabemos c\u00f3mo es el universo. Cuanto m\u00e1s ricas sean nuestras teor\u00edas matem\u00e1ticas, m\u00e1s fuerte ser\u00e1 nuestra capacidad de representar el mundo real. Por lo tanto, deber\u00eda alentarse la investigaci\u00f3n b\u00e1sica en matem\u00e1tica si queremos expandir nuestras capacidades expresivas para discutir y describir el mundo en su amplia complejidad. Esto no significa que apliquemos la matem\u00e1tica a la realidad, sino que podemos hacer que nuestras ideas sobre la realidad sean m\u00e1s exactas a trav\u00e9s de su matematizaci\u00f3n. Un lenguaje exacto basado en la matem\u00e1tica tiene una mayor expresividad para describir con precisi\u00f3n el mundo que un mero lenguaje natural, que est\u00e1 infectado de vaguedad e imprecisi\u00f3n. El mundo no es matem\u00e1tico, pero nuestras ideas sobre \u00e9l se pueden expresar, afortunadamente, a trav\u00e9s de la matem\u00e1tica.<\/p>\n\n\n\n

En resumen: aunque algunas de nuestras teor\u00edas matem\u00e1ticas m\u00e1s primitivas podr\u00edan estar inspiradas en observaciones de fen\u00f3menos emp\u00edricos, la matem\u00e1tica es una creaci\u00f3n libre de la mente humana sin existencia independiente. Las entidades matem\u00e1ticas son artefactos conceptuales formulados en el marco de teor\u00edas consistentes a trav\u00e9s de estipulaciones. Las verdades matem\u00e1ticas son anal\u00edticas y solo pueden establecerse en el contexto de las teor\u00edas que contienen las estipulaciones constitutivas de la formaci\u00f3n de objetos matem\u00e1ticos. La matem\u00e1tica no se refiere a entidades materiales. La matem\u00e1tica refiere a ficciones bien definidas.<\/p>\n\n\n\n

Referencias<\/strong><\/p>\n\n\n\n